q-Bernstein-Stancu算子的逼近

共2984字

摘要:设q>0,α≥0,f∈C[0,1],B■■(f;x)是q-Bernstein-Stancu算子。当α=0时,B■■(f;x)就是Phillips提出的著名的q-Bernstein算子。本文主要借助光滑模和Lipschitz型空间,研究B■■(f;x)的逼近特征,进一步完善前人的结果。

关键词:q-Bernstein-Stancu算子;光滑模;Lipschitz型空间;逼近特征
中图分类号:O174.41文献标识码:A文章编号:1009-8631(2011)05-0124-02

一、引言
首先我们给出一些记号和相关的定义。设q>0,对任意k=0,1,2,…,q型整数[k]和q型阶乘[k]!分别定义为:
[k]:=(1-qk)/(1-q),q≠1k,q=1和[k]!:=[k][k-1]…[1],k=1,2,…1,k=0。
对整数0≤k≤n,q型二项式系数或高斯系数定义为:nk:=■。
2009年GrzegorzNowak[1]提出了q-Bernstein-Stancu算子B■■(f;x):对任意n=1,2,…,设q>0,α≥0,f∈C[0,1]
B■■(f;x)=■f■p■■(x),(1)
这里p■■(x)=nk■,约定空乘积等于1。
当α=0时,B■■(f;x)算子就是q-Bernstein算子。1997年,Phillips[2]提出了q-Bernstein算子B■■(f;x):
B■(f,x)=■f■nkxk■(1-qsx),(2)
当q=1时,B■■(f;x)算子就是Bernstein-Stancu算子。1968年,Stancu[3]提出了Bernstein-Stancu算子:
S■(f;x)=■f■■■
当α=0,q=1时,B■■(f;x)就是著名的Bernstein算子B■(f;x):
B■(f;x)=■f■■xk(1-x)n-k
q-Bernstein-Stancu算子在逼近理论中有着非常重要的作用,近几年来,越来越引起研究者的兴趣。
设C[0,1]是定义在[0,1]上的连续函数空间,赋予范数‖f‖=■f。对于f∈C[0,1],我们引入Peetre,sK-泛函:δ>0,
K(f,δ)=■{‖f-g‖+δ‖g″‖}(3)
和光滑模ω2(f,δ)=■f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)。
根据[4]可知,存在常数C>0使得
K(f,δ)≤Cω2(f,■)(4)
设任意常数M>0,0<ρ≤1,Lipschitz型空间如下:
Lip■■(ρ)=f∈C[0,1]:f(t)-f(x)≤M■;t,x∈(0,1](5)
本文主要借助光滑模ω2(f,δ)和Lipschitz型空间Lip■■(ρ),研究B■■(f;x)的逼近特征,得到下面两个主要结果:
定理1设q∈(0,1),α≥0,f∈C[0,1]和x∈[0,1],则存在常数C>0使得B■■(f;x)-f(x)≤Cω2f,■
定理2设q∈(0,1),α≥0,f∈Lip■■(ρ)和x∈[0,1],则B■■(f;x)-f(x)≤M■■。
二、定理证明
定理1的证明根据[1]有:
B■■(1;x)=1,B■■(t;x)=x,B■■(t2;x)=■+■(6)
经计算可得:
B■■(t-x,x)=0,B■■((t-x)2,x)=■(7)
设g∈C2[0,1]和x∈[0,1],应用泰勒公式得:
g(t)-g(x)=(t-x)g′(x)+■(t-u)g″(u)du,t∈[0,1](8)
这样可得:
B■■(g;x)-g(x)=B■■■(t-u)g″(u)du;x
≤B■■■(t-u)g″(u)du;x(9)
而■(t-u)g″(u)du≤■‖g″‖,再结合(7)和(9)可得:
B■■(g;x)-g(x)≤■‖g″‖(10)
所以,利用(9)和(10)得:
B■■(f;x)-f(x)≤B■■(f-g;x)+B■■(g;x)-g(x)+f(x)-g(x)
≤2‖f-g‖+■‖g″‖≤Cω2f,■
定理1证明完毕。
为了证明定理2,我们需要下面的引理1。
引理1对于x∈[0,1],有
■[k]-[n]xp■■(x)≤■■
证明根据(6),计算可得:
■([k]-[n]x)2p■■(x)=([n])2B■■(t2;x)-2([n])2xB■■(t;x)+
([n]x)2B■■(1;x)=■
利用Cauchy-Schwarz不等式可得:
■[k]-[n]xp■■(x)≤■([k]-[n]x)2p■■(x)■■p■■(x)■
=■■
定理2的证明根据(1),经过计算可得:
B■■(f;0)=f(0),B■■(f;1)=f(1)
显然,当x=0和x=1时,定理2结论成立。
当ρ=1时,对于x∈(0,1],f(x)∈Lip■■(1)时,
B■■(f;x)-f(x)≤■f■-f(x)p■■(x)
≤M■■p■■(x)
=■■■p■■(x)
≤■■[k]-[n]xp■■(x)
根据引理1,可得
B■■(f;x)-f(x)≤M■■
≤M■■
当0<ρ<1时,利用H■lder不等式
B■■(f;x)-f(x)≤■f■-f(x)p■■(x)
≤■(f■-f(x))■p■■(x)■■p■■(x)■
已知f(x)∈Lip■■(ρ),根据引理1,可得
B■■(f;x)-f(x)≤M■■p■■(x)■
≤■■[k]-[n]xp■■(x)■
≤M■■
定理2证明完毕。
参考文献:
[1]G.Nowak.Approximationpropertiesforgeneralizedq-Bernsteinpolynomials[J].Math.Anal.Appl.350(1)(2009)50-55.
[2]G.M.Phillips.Bernsteinpolynomialsbasedontheq-integers[J].Ann.Numer.Math.4(1997)511-518.
[3]D.D.Stancu.Approximationoffunctionsbyanewclassoflinearpolynomialoperators.Rev.RoumaineMath.PuresAppl.13(8)(1968)1173-1194.
[4]R.A.DeVore,G.G.Lorentz.ConstructiveApproximation[M].Springer,Berlin,1993.
[5]Z.Ditzian,V.Totik.ModuliofSmoothness[M].Springer,Berlin,NewYork,1987.


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